对三组数据基尼系数的估算
【内容提要】本文介绍一个粗略估算基尼系数的方法，并根据三组公开的经济数据，对其基尼系数进行了估算。
1.从三张截图谈起
先看下面 三张截图：
第一张，是来自于国家统计局2024年2月29日发布的2023年经济数据。这里把全国居民人均年收入按居民5等份分组。
第二张，是中金公司给出的中国总财富分布数据（分4组）。
第三张，是美联储统计的全美总财富的分布数据（分4组）。
面对截图中的数据，作为外行的我们，能不能设法估量一下国民收入（或财富）贫富差距的大小呢？这就不能不谈到基尼系数和洛伦兹曲线。
2.关于洛伦兹曲线
大家知道，基尼系数G是用来衡量某国或某地贫富差距的一个比值。一般认为：G<0.2时居民收入过于平均；0.2-0.3之间时较为平均；0.3-0.4时比较合理；0.4-0.5时差距过大；G>0.5时差距悬殊。
其正规的计算方法是通过洛伦兹（M·O·Lorenz）曲线来进行的（如图）:
要得到这条曲线：（1）首先要通过大量的调查研究，去得知某地全体（或样本）每一个人的收入数；（2）计算出每个人的收入在总收入中所占的百分比；（3）把这些百分比由低到高排成一行数据;（4）计算这些百分比数据累计之和y ;（5）计算累计人数百分比x ；（6）建立直角坐标系XOY，将这些点（x,y） 一个一个标在坐标系上；（7）积点成线 ，得到图中的洛伦兹曲线。
然后才能求图中B、（A+B）、A的面积，计算基尼系数G。如此海量的调查 、统计、计算、绘图工作，不是专业人士操作电脑，是 很难完成的。
那么，对于非专业的普通大众，面对别人调查研究后给出的有限数据，有没有简单的、粗略的、估算基尼系数的方法呢？这里介绍一个主要用加减乘除的估算方法——“折线法”（当然还有一点技巧）。
3.举个简单例子
【引例】假定有100个人平均分成5组，各组人均月收入分别是1、2、3、4、5（千元）。试求其月收入的基尼系数。
万事起头难，下面的计算比较琐细，要耐下心来看。对算法不感兴趣的读者不妨跳过这两节，直接看最后一节“算法应用举例”。
（1）首先算人数百分比：各小组都占20%，那么累计百分比依次就是20%、40%、60%、80%、100%。
（2）再算收入百分比。各组收入合计数分别为2万元、4万元、 6万元、8万元、10万元，总计30万元。各组占比分别为：2÷30=6.67%，4÷30=13.33%，20%，26.67%，33.33%。累计收入百分比 依次为：6.67%， 20%，40%,66.67%,100%。
（3）因此，尚未画出的坐标系中关键点的坐标（化成小数后）分别是A（0.2,0.0667）、B（0.4,0.2）、C（0.6,0.4）、D（0.8,0.6667）、E（1,1）。
充分准备后，方可画出直角坐标系（如图）：
由于数据太少，得不出洛伦兹曲线，只能画出一条折线（这意味着假定各小组内部成员收入绝对平均）来逼近它。图中一个三角形和四个梯形的面积之和相当于彩图中的B的面积。
计算S1=0.0667×0.2÷2=0.0067；
S2=(0.0667+0.2)×0.2÷2=0.0267；
S3=(0.2+0.4)×0.2÷2=0.06 ；
S4=0.1067 ； S5=0.1667 ；
SB=S1+S2+S3+S4+S5=0.3667 。
而 SA+B= 1×1÷2=0.5，
所以 SA=0.5-0.3667=0.1333。
G=SA÷SA+B= 0.1333÷0.5=0.2667。
以上，通过不厌其烦的百分比运算，得出这100个人月收入的基尼系数为0.2667。但这只是用“折线法”计算出来的近似值，它小于真正的基尼系数G（估计能小5%-10%）。
事实上，如果不把人数和月收入数都计算出百分比，而是适当改变一下原始数据，并不会影响计算的结果。比如我们把横坐标扩大5倍，纵坐标扩大15倍，则得到一个新坐标系（图略）。那么图中6个点的新坐标将分别是:O（0,0）、A（1,1）、B（2,3）、C（3,6）、D（4,10）、E（5,15）。在新坐标系中 ：
S1=(0+1)×(1-0)÷2=0.5 ； S2=(1+3)×（2-1）÷2=2；
S3=4.5 ；S4=8，S5=12.5，SB=27.5 ； SA+B=(15×5)÷2=37.5。
所以，基尼系数G = SA÷SA+B=(37.5-27.5)÷37.5=0.2667。这样计算就简单多了。
4.总结估算方法
从上面例子可以看出，本文介绍的估算方法不仅在于用“折线法”求梯形类面积之和去逼近SB（这是大家都采用的方法），还在于：在两坐标轴上(人数和收入)的标注方法不拘泥于百分比：（1）既可以用百分比;（2）也可以用原始数据;（3）又可以适当扩大或缩小原数据。这并不会影响计算结果的正确性。用哪种数据计算，仅仅为了方便。
下面把算法步骤总结一下 ：
1.题目中一般都按人们收入由少到多把总人数分成了n个小组，并给出了各小组人数以及各小组人均收入数。第一步先要考虑是否改变人数和收入数的原数据（上面三法选一），并确定下来，用新数据进行计算；
2.计算出前若干个小组人数累计数x；
3.计算各小组的总收入数；
4.计算前若干个小组总收入累计数y；
5.写出未来图中各点的坐标：A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），……；
6.画出直角坐标系XOY，标注坐标轴上的刻度，在图中标出关键点A、B、C……，画出折线及各个梯形等等；
7.计算各梯形类图形面积S1、S2、…,Sn；
8.计算SB、SA+B、SA和基尼系数G（算法见前面例子）。
5.算法应用举例
【例1】2024年2月29日，国家统计局发布了许多经济数据。截图1是其中的我国2023年“按居民五等分年收入分组”。抄写数据如下：
低收入20%人口 9215元；中下收入20%人口20442元；
中等收入20%人口32195元； 中上收入20%人口 50220元；
高收入20%人口95055元。
但国家统计局并没有公布2023年居民收入的基尼系数G。（自2016年后再没公布过。 据说是因为无法得知某些高收入人士的真实收入，所以计算的基尼系数偏离实际，不宜公布。）
下面，我们试用这些数据估算一下2023年我国居民年收入的基尼系数，看看这个G大概是多少？
（1）首先，这里给出的原始人口数据的各组百分比都是0.2，我们可以把0.2作为标注X轴的刻度，但我们也不妨扩大5倍，令它们都变成1，计算会更简单（纵坐标Y就用原始数据）。
（2）列表计算（设我国总人口为14亿）
（3）写出未来坐标系中各点坐标:
A（1,9215） B（2，29657） C（3,61852）
D（4，112072） E（5,207127）
（4）画出直角坐标系以及各图形:
（5）根据图形计算SB、SA+B、SA以及基尼系数G：
S1=9215×1÷2=4607.5 ，
S2=(9215+29657)×（2-1)÷2=19436,
S3=45754.5,S4=86962,S5=159599.5.
求和得SB=316359.5， 然后求得SA+B=517817.5， SA=201458 。
所以，估算的基尼系数G=SA÷SA+B=0.38905（明显偏小！）
【例2】根据截图2里中金公司报告的数据（不再重抄了），估算中国民间总财富430万亿划分的基尼系数（国资类360万亿已除外）。
然而，什么是“财富”呢？是使用价值还是交换价值？只是现金、存款和证券？或是包括房地产在内的资产？还是泛指“所有值钱的东西”（包括服务、知识、健康、青春、关系等等）？这些，在经济学上并无定论。这里的财富大概是指物质方面。但有一点是肯定的：财富不是指年收入，而是指多年（收入减支出后）结余的存量，还有可能是负值。现在不是有个时髦的词叫“负产阶级”吗？
抛开这一切，我们只估算基尼系数G。
先列表并作图（用百分比）：
计算面积S1=0.0698×0.9262÷2=0.03232
S2=(0.0698+0.3256)×0.0705 ÷2=0.01394
S3=(0.3256+1)×0.0033÷2=0.002187
所以SB=0.03232+0.01394+0.002187=0.048447
SA=0.5-0.048447 =0.45155
基尼系数 G=0.45155÷0.5=0.9031.
可见财富集聚比起收入分配来，基尼系数要高得多！
【例3】截图3是美联储的统计数据（不再重新抄写），试据此估算截止2021年底全美总财富划分的基尼系数。
由于大家对计算方法已经比较熟悉，这里只列表不画图。
计算如下：
S1=2.65%×50%÷2=0.006625；
S2=（2.65+30.3）%×40%÷2=0.0659；
S3=(30.3+67.8) %×9%÷2=0.04415；
S4=(67.8+99.99)%×1%÷2=0.00839；
SB=0.1251；SA=0.5-0.1251=0.3749；
G=0.3749÷0.5=0.7498。
即：截止2021年底全美总财富划分的基尼系数约为0.7498.
看完例2和例3，不知你有何想法？
最后再重复一遍：用“折线法”估算出来的基尼系数,比真正的
基尼系数G要小一些。 【全文结束】
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